En effet, dans ce dernier cas, il existera une écriture équivalente se terminant par une période composée de ’0’, et mieux encore, un développement décimal limité équivalent. Ce bloc, ou période, peut être constitué d'un ou plusieurs chiffres, un même chiffre pouvant apparaître plusieurs fois dans ce même bloc. Périodes des m/n — Si l'ordre de 10 est ℓ, il existe φ(n)/ℓ périodes possibles — à une permutation circulaire près — pour un quotient de la forme m/n où m et n sont premiers entre eux. d Cet objectif le conduit à travailler sur les restes dans la division par n qu'il appelle les résidus. {\displaystyle R_{3}=3.37} = Cet exemple laisse prévoir la propriété suivante : Écriture décimale — Le développement décimal propre[1] de tout nombre rationnel est périodique[2]. 2,45 admet pour écritures fractionnaires (entre autres) : \dfrac{245}{100} , … Cette construction est valable à partir de n'importe quel anneau intègre, on parle alors de corps des fractions. Puisqu'il est premier avec m donc avec r0, il divise 10ℓ' – 1, c'est-à-dire que ℓ' est un multiple de ℓ. Lorsque n est un nombre premier différent de 2 et 5, la longueur de la période de 1/n peut être égale à n – 1 (la longueur maximale pour une division par un entier n > 1[7]) ; par exemple : Elle peut aussi être plus petite, comme pour. est un nombre qui est une portion d’un tout ou une portion d’une unité. L'espace métrique Il définit l'ordre d'un nombre modulo n comme le plus petit entier non nul k tel que ak ait pour reste 1 modulo n. Il s'intéresse aux racines primitives : celles dont les puissances modulo n permettent de donner tous les entiers inférieurs à n et premier avec n. Une racine primitive a étant choisie, il définit l'indice d'un nombre b comme l'entier i tel que ai a pour reste b modulo n. Cet indice i s'appelle de nos jours le logarithme discret. {\displaystyle \mathbb {Q} ={\big (}\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \left\{0\right\}){\big )}/{\mathcal {R}}} × L'idée de prolonger les opérations au-delà de l'unité est présente en Chine dès le IIIe siècle mais la partie décimale y est présentée sous forme d'une fraction décimale[10]. est premier ≠ 2,3 et 5. Il forme donc un sous-ensemble des nombres rationnels qui comprend l'ensemble des nombres entiers (sur le schéma, l'ensemble des nombres décimaux serait représenté par un cercle supplémentaire autour du cercle bleu des nombres entiers et à l'intérieur du rectangle vert des … La valeur à l’origine de $f(t+R)$ est $f(R)$. p Une période 0 donnerait (pour tout i) 10i ≤ 10ir0 = ri < b et une période 9 donnerait de même 10i ≤ 10i(b – r0) = b – ri < b, ce qui est impossible. = On peut ensuite injecter les entiers dans les rationnels, et définir des lois de composition interne pour se donner une structure de corps. Cela signifie que les opérations arithmétiques sont continues. Un nombre est rationnel, si et seulement si, son développement décimal est périodique à partir d'un certain chiffre 픻, ℕ et ℤ sont inclus dans ℚ Nombres réels 1) L'addition est de plus compatible avec l'ordre (on parle de groupe ordonné). Ce produit permet de déterminer aℓ–1 qui, réinjecté dans la même égalité, permet de trouver aℓ–2 et de proche en proche, permet de découvrir tous les chiffres de la période. {\displaystyle 0{,}12\,122\,1222\,12222...\,} R } Un nombre rationnel provient de la division de deux nombres entiers. Voir plus d'idées sur le thème mathématiques, maths ce1, jeux mathématiques. L’exemple le plus classique de numération en base entière est celui de la numération en base dix. Q Par conséquent, k = 0 et la suite (ri)i≥0 est périodique, avec une période de longueur ℓ < b. On peut écrire les nombres rationnels non entiers sous forme de fraction, souvent notée Conventionnellement, lorsque nous écrivons un nombre avec les chiffres arabes dans le système décimal nous traçons, s'il y a lieu, une barre horizontale au-dessous de la séquence périodique. fractions, de nombres fractionnaires ou de nombres décimaux fini ou infini périodique. a 012345679 Par exemple, on a : On peut voir un nombre rationnel comme la classe d'équivalence d'une paire ordonnée d'entiers, par la relation d'équivalence suivante : On note alors Par exemple, si on prend le nombre rationnel 12/3 = 1,71 Pour n = 27 par exemple, on a φ(27) = 2 × 9 = 18 et 1/27 a pour période 037. On démontre que cette égalité ne dépend pas du choix des représentants "a/b" et "c/d". Développement périodique et nombre rationnel, Écriture fractionnaire d'un développement périodique, Caractérisation pratique des nombres premiers longs, Un développement décimal est dit impropre s'il est périodique de période. Un quart s’écrit car tandis que représente . , Jérôme Germoni, « Développement décimal de 1/p (d'après O. Mathieu), diaporama », sur CRDP de Lyon 1, 2006. Avant d'en démontrer une version plus précise, éliminons des cas : Il reste à étudier le résultat d'une division de a par b lorsque b est strictement supérieur à 1 et premier avec a et 10. Dans son traité La Disme, écrit en 1585, il précise les méthodes de calcul sur les écritures décimales et envisage que celles-ci puissent être illimitées et s'appliquer même à des nombres irrationnels (nombres incommensurables)[13],[14]. ) 1 La somme de ces s nombres est alors toujours un multiple de 10t – 1 = 99…9. × = y La longueur de la période doit diviser φ(n) et elle n'est jamais maximale. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Or la méthode du § précédent fournit des développements impropres. R = Les nombres remarquables sont typiquement des éléments du corps des nombres réels ou des complexes. ATTENTION!! Un nombre admettant une écriture fractionnaire admet une écriture décimale dont la partie décimale est finie ou périodique. Si la période ne commence pas juste après la virgule, il faut commencer par multiplier le nombre par la bonne puissance de 10 pour faire démarrer le développement décimal périodique juste après la virgule, puis on utilise la méthode précédente sur la partie décimale. 11...1 0 , Le système décimal arrive en Europe tardivement (vers le Xe siècle) et c'est Simon Stevin qui prône l'écriture décimale des nombres fractionnaires qu'il appelle les rompus. 2019 - Découvrez le tableau "Mathématique" de Leila Djadoudi sur Pinterest. ) 3 3 On a montré (voir supra) que ces rationnels sont ceux dont le développement propre a pour période 0. À titre d’exemple, 1 divisé par 2, exprimée sous forme de fraction par , correspond à une suite décimale limitée, soit 0,5. C'est-à-dire qu'il existe un suffixe constitué d'une séquence finie de chiffres se répétant continuellement. R 12 b Ce principe peut être utilisé dans la construction de la période de 1/19, dont le dernier chiffre est 1 et dont l'avant-dernier reste est 2. Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Les exemples précédents ont mis en évidence le rôle de la répartition des restes dans la division de m par n. Ces restes correspondent aux restes de la division euclidienne de 10im par n. Cette question se traite bien si l'on fait intervenir l'arithmétique modulaire et les notions de congruence sur les entiers et plus précisément l'ordre multiplicatif[4] de 10 modulo n : Longueur de la période de m/n[5] — Soit m/n une fraction irréductible. est à période décimale maximale si et seulement si. n¿ nombre de versements. Heureusement, il y a des nombres comme , pour lequel les choses sont un peu plus compliquées ; on a besoin d’une suite infiniede chiffres : Plus on a de chiffres, plus on … {\displaystyle d} d 5 Un nombre décimal est fini lorsqu'il a un nombre précis de chiffres après la virgule. 0,666 ou 0,4545 ou 0,108108 Comme numérateur, il suffit d'utiliser la période tandis que le dénominateur sera composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres composant la période. R C'est le cas par exemple de 142 857 (période de 1/7) ou 052 631 578 947 368 421 (période de 1/19) qui sont des nombres cycliques[8]. 0,666... ou 0,4545... ou 0,108108... Pour le numérateur, il suffit d'utiliser la période tandis que le dénominateur sera composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres composant la période. d Le développement décimal est périodique, sa période commence juste après la virgule, et la longueur de sa période divise ℓ. Cela résulte immédiatement de ce qui précède et du fait que ai+1 est le quotient de la division euclidienne de 10ri par b. × La suite de divisions se poursuit donc indéfiniment, et les différents restes ri sont les restes de la division euclidienne de 10ia par b. L'algorithme de division assure que, pour tout i : N,a1a2a3…ai × 10i = E(a/b × 10i). Définition. {\displaystyle R_{6}=3.7.11.13.37} {\displaystyle a/b} 6 2016 - Explorez le tableau « Mathématiques » de Lutin Bazar, auquel 3383 utilisateurs de Pinterest sont abonnés. En choisissant convenablement la valeur de $R$, on peut donc obtenir comme valeur initiale n’importe quelle valeur prise par $f$ au cours d’une période. Une soustraction permet alors de faire disparaître la partie décimale. On se place ici dans le cas où n est premier, supérieur ou égal à 7 et l'on suppose que la période la plus courte de 1/n est de longueur ℓ = st où s > 1. Il prouve ensuite que la fraction m/n a une période de même longueur et que cette période est à choisir entre i périodes différentes, à une permutation près. 2 On peut le trouver en résolvant l'équation diophantienne nx – 10y = 9. La première étape consiste à décomposer 351 en produit de facteurs premiers : Il faut ensuite décomposer cette fraction en éléments simples. Un nombre rationnel est, en mathématiques, un nombre qui peut s'exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs. 2) b NOMBRES PÉRIODIQUES Développement décimal périodique Conversion d'un nombre décimal en fraction Nombre à décimales ayant une tranche de décimales qui se répètent. 1/13 n’est donc pas à période maximale car 13 divise : Lorsque tu compares des nombres négatifs, le nombre le plus éloigné du « 0 » est le plus petit nombre. 40 Il s’agit de l’opération inverse d’élever au cube. {\displaystyle R_{6}} En effet, 10rk a pour quotient ak+1 et pour reste rk+1 dans la division par n. On retrouve alors, pour le développement périodique de rk/n, celui de 1/n ayant seulement subi une permutation circulaire et commençant à ak+1. On a déjà démontré (voir supra) que le cas général se ramène au cas où n est premier avec 10 et strictement supérieur à 1, et qu'alors : Il ne reste donc plus qu'à vérifier que ℓ divise ℓ'. Ce bloc, ou période, peut être constitué d'un ou plusieurs chiffres, un même chiffre pouvant apparaître plusieurs fois dans ce même bloc. {\displaystyle \textstyle {\frac {a}{b}}} On trouve ainsi dans Introduction abrégée sur les nouvelles mesures qui doivent être introduites dans toute la République au 1er vendémiaire an 10, avec des tables de rapports et de réductions, par C.H. Puisque 7 × 7 = 49, on peut poser, Les chiffres successifs de la période se trouvent en remplissant progressivement la multiplication à trous. 1 Il est possible de noter la répétition de chiffres à l'infini en plaçant des points de suspension après plusieurs occurrences de décimales. {\displaystyle R_{5}=41.271} ⏟ chiffres 1 6 (où l'on a des séquences de ’2’ de plus en plus longues) est irrationnel car il n'y a pas de période. On a ainsi, pour 1/7, dont les restes sont successivement 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, 2, 6, 4, 5, etc. L’informaticien se demande déjà si ces représentations sont commodes pour faire faire les opérations arithmétiques à un processeur. Le développement impropre d'un nombre décimal n'est pas celui qui vient spontanément à l'esprit, mais cela ne signifie pas qu'on ne soit jamais amené à l'écrire. si bien que n divise (10ℓ' – 1)r0. {\displaystyle d_{p}\left(x,y\right)=|x-y|_{p}} Il démontre ensuite que l'indice de m lui permet de déterminer quelle période il doit choisir ainsi que la permutation à effectuer. , où a, le numérateur, est un entier relatif et b, le dénominateur est un entier relatif non nul. Au cours du XVIIIe siècle, les mathématiciens se préoccupent de la période décimale des fractions. Ainsi, on a. en 6 blocs : 1+ 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 (divisible par 9). Dans ce cas, en multipliant la période de 1/n par tout entier m < n, on conservera toujours les mêmes chiffres à une permutation près. Pour d'autres nombres rationnels, il faut répéter d'autres chiffres, voire un bloc de plusieurs chiffres. LA DIVINE PROPORTION : NOMBRE D'OR OU NOMBRE D'ART, MATHÉMATIQUE ... : mémoireexposé– 36 –Pierre BOYER ALS (12-06-08)expression numérique de la solution un–2 avec u1 lapins matures de un–2 ligne en moyenne propriétés mathématiques proportions du parthénon d'athènes rares développements mathématiques au strict minimum arithmétique arithmétiques [8]: (7 × 142857 = 999999, période de l'écriture décimale impropre de 1). Cela est vrai dans n'importe quelle base. 3 Pour évaluer le quotient 4/3, une calculatrice affiche usuellement le chiffre 1, un séparateur décimal (point ou virgule) et plusieurs chiffres 3. , Dans l'idée de convertir en forme décimale un nombre rationnel, représenté a priori sous forme de fraction de deux entiers, on peut poser une division. 5 Jean le Rond D'Alembert en publie dans son Encyclopédie méthodique[18]. R Les nombres décimaux font partie des nombres rationnels. b y Cette séquence est appelée : « période du développement décimal illimité ». Cela est vrai dans n'importe quelle base. t =taux d’intérêt périodique (identique pour toutes les périodes). Il s’agit donc des nombres rationnels dont le développement décimal n’a … Slt, Je me demandais s'il était possible de démontrer qu'un nombre rationnel était périodique. − Le développement décimal d'un nombre rationnel est toujours périodique au bout d'une certaine décimale (par exemple dans le cas d'une écriture décimale finie, le rajout de zéros assure la périodicité). 0,075 Par exemple, considérons le nombre rationnel 5/74 : etc. La nouvelle période obtenue sera celle de m/n. {\displaystyle R_{5}} Or 1,333333333333 n'est qu'une valeur approchée (à 10–12 près) de ce quotient, comme le montre le calcul de l'opération réciproque : L'algorithme de division appliqué à cet exemple produit à chaque étape le reste 1 qui, multiplié par 10 et divisé par 3, produit le quotient entier 3 et à nouveau un reste 1. , ou, plus simplement, que ce produit doit se terminer par 9. Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. Le quotient est alors une suite décimale limitée ou illimitée mais périodique2. On peut illustrer sa démarche sur un exemple : il s'agit de chercher le développement décimal de. appelés communément "répunits" : R Étant donnée une fonction périodique $f$ de période $T_0$, la fonction $f(t+R)$ est aussi une fonction périodique, de même période $T_0$. } On se retrouve dans la même situation qu'au départ. La présentation d'un nombre décimal avec une partie entière, une virgule et une partie décimale apparaît dans les écrits du mathématicien Ibrahim Uqlidisi au Xe siècle quand il présente le système de numération indien[11] mais le calcul des nombres sous forme de fractions reste prédominant[12]. Or d'après le § « Écriture fractionnaire d'un développement périodique » ci-dessus. « L'ensemble des nombres rationnels est généralement désigné par la lettre Q. Un des premiers à utiliser une notation spécifique pour la période d'un nombre fractionnaire est John Marsh[15], qui signale le début et la fin de la période par un point placé au-dessus du chiffre. a 11.101 − La table[20] donne deux périodes, la racine primitive est 6, et 4 est d'indice 10 = 5×2. 1. {\displaystyle R_{4}=11.101} a Ainsi un nombre décimal est rationnel. {\displaystyle {\frac {1}{81}}=0{,}{\underline {012345679}}} Le reste est toujours strictement compris entre 0 et b. À chaque étape, il n'y a donc que b – 1 restes possibles, si bien qu'on ne peut pas opérer b étapes sans rencontrer deux restes identiques. Voir plus d'idées sur le thème mathématiques, maths cm2, maths ce2. = Soit Pour chacun de ces dénominateurs n, il détermine une racine primitive a modulo n. Il détermine ensuite l'indice i de 10 dans la base a. Il sait alors que la période de 1/n a pour longueur φ(n)/i, dont il détermine la valeur. Ces périodes sont obtenues en multipliant la période de 1/n par m (inférieur à n). {\displaystyle p} d'un nombre rationnel est toujours périodique au bout d'une certaine décimale (par exemple dans le cas d'une écriture décimale finie, le rajout de zéros assure la périodicité). Il est donc utile de connaître la décomposition en produit de facteurs premiers des nombres Muni de la topologie de l'ordre usuel, ℚ est un corps topologique. Q Chaque nombre rationnel peut s'écrire d'une infinité de manières différentes, comme 1/2 = 2/4 = 3/6 = 2807/5614 , etc. ∖ Cela conduit à compléter ℚ en construisant un ensemble plus grand, qui possède la propriété de la borne supérieure et dans lequel toute suite de Cauchy converge : l'ensemble des nombres réels. {\displaystyle p} On aura ainsi la somme infinie qui commence par: Z On appelle fraction irréductible cette expression avec un dénominateur positif. Comme n est premier avec 10, un tel nombre aℓ existe. À chaque permutation de cette nouvelle période est associé un quotient de la forme m'/n, où m' est l'un des ℓ restes de m/n. , avec 6 diviseur de 12 ; 1/37 n’est pas à période maximale car 37 divise Comme les nombres de 0 à 9 n’utilisent qu’un seul chiffre, on peut y voir une certaine confusion. par la relation d'équivalence. un nombre décimal peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale c'est à dire une fraction dont le dénominateur est une puissance de dix. × Haros, une table donnant les périodes des fractions de dénominateurs inférieurs à 50[19]. = {\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,d_{p}\right)} , Gauss se préoccupe de déterminer facilement le développement périodique de tout rationnel. Le plus grand nombre dans la partie décimale est le plus grand nombre. p n'est pas complet, et sa complétion est le corps ℚp des nombres p-adiques. R Un nombre entier est un nombre rationnel : il peut s'exprimer par une fraction de la forme Il remarque que toute fraction peut se décomposer en éléments simples, c'est-à-dire en somme de fractions dont le dénominateur est une puissance de nombre premier. Grâce à ses services d’accompagnement gratuits et stimulants, Alloprof engage les élèves et leurs parents dans la réussite éducative. Un π-nacle des mathématiques Cet article est un clin d’œil au nombre π et à son histoire, il est donc écrit dans un périodique et est lui-même périodique. 3.37 3 = {\displaystyle R_{d}} (on remarquera l'absence du 8)[3]. 122 3 En tant que limite de séries . d 6 22 déc. Ainsi, la longueur de la période de 1/21 doit diviser φ(21) = 2 × 6 = 12. = d On dit alors que 10 est une racine primitive modulo n. Ces nombres, appelés parfois "nombres premiers longs", forment la suite 2, 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97... référencée A006883 dans l'encyclopédie des suites entières, ou A001913 si l'on excepte le 2. Ce critère est néanmoins malcommode pour évaluer la rationalité d'un nombre. La période est alors constituée de s blocs de t chiffres. Dans le chapitre 6 de son traité, il applique ces connaissances aux fractions. De plus est une fonction périodique, de période , un autre nombre remarquable. 10 = La révolution française privilégie le système décimal dans les unités de mesure et encourage le calcul sous forme décimale. 41.271 {\displaystyle 10^{d}-1=9\times {\underset {d{\text{ chiffres 1}}}{\underbrace {11...1} }}} × Soient a, b, c, d quatre entiers, avec b et d non nuls. p ( nombre qui, multiplié trois fois par lui-même, donne le nombre qui se trouve sous le radical. 5 fraction. Cette écriture peut paraître claire lorsqu'une seule décimale est répétée une dizaine de fois, mais d'autres notations sont plus explicites en décomposant le nombre rationnel en trois parties : Les chiffres de la partie entière sont placés classiquement à gauche de la virgule, qui est suivie par les chiffres de la partie décimale non périodique. 5 Lorsque la période de 1/n est de longueur ℓ < n – 1, seuls ℓ entiers sont concernés, chacun associé à une permutation circulaire de la période de 1/n. 3 Z 239.4649 ... Des nombres décimaux avec une partie décimale infinie et non périodique : π=3,141 592 653… 2 … Jean Le Rond d'Alembert, Jerôme de La Lande, Charles Bossut, Jean-Antoine-Nicolas de Caritat Condorcet, Conjecture d'Artin sur les racines primitives, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Développement_décimal_périodique&oldid=178538626, Article contenant un appel à traduction en anglais, Article contenant un appel à traduction en allemand, Portail:Arithmétique et théorie des nombres/Articles liés, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, si le dénominateur contient des puissances de, lorsqu'il s'agit de déterminer le développement décimal de 1 –.